ライントランセクト調査による個体数の区間推定3 - 迷子のオガワコマッコウの放浪日記

さて今回は発見群数$ n $の分散について考えようと思います。

まずは皆さんに問題です。ある海域において、1kmのライントランセクト調査を行った翌日、同じ海域で2kmの調査を行ったとします。ただし、天候や有効探索幅などの条件はすべて同じであると仮定します。この時、２つの調査における発見群数の期待値や分散の関係はどうなるでしょうか。

発見群数の期待値は、もちろん調査距離に比例します。では分散はどうでしょうか。2kmの調査の記録を、半分までの1kmと残りの1kmに分けて考えます。双方の調査は完全に独立です。なので、総発見群数の分散は1kmの時に比べて2倍になります。

3kmのときはどうでしょうか。同じように考えると、分散は3倍になりそうですね。

このように考えていくと、発見群数の分散も調査距離に比例することが分かるかと思います。つまり、発見群数の期待値と分散は常に比例することが分かります。

この性質を使って、発見群数nの分散を求める方法を説明します。ライントランセクト調査ではこれを求めるために、データを分割して部分トランセクトというものに分けます。この分け方は通常、日付によって分けたり、あるいは調査コースをいくつかに分割することによって分けます。

各部分トランセクトにおける調査距離を$ L_i $とし、全体の調査距離$ L_i $の総和を$ L $とします。同様にして、各部分トランセクトにおける発見群数を$ n_i $とし、全体の発見群数($ n_i $の総和)をnとします。さらに$ n $の期待値($ E[n] $)を$ n_0 $とします。

先ほど見たように、発見群数の期待値と調査距離は比例するので、i番目の部分トランセクトにおける発見群数の期待値は、

E[n_i] = \frac{L_i}{L} n_0 \tag{1}

となります。同様に分散も調査距離に比例するので、

Var[n_i] = \frac{L_i}{L} Var[n]

この式を以下のように変形してみます。

Var[n] = \frac{L}{L_i} Var[n_i] \tag{2}

ここで、$ n_i $の分散の定義より、

\begin{aligned} Var[n_i] &= E[(n_i - E[n_i])^2] \\ &= E\left[\left(n_i - \frac{L_i}{L} n_0 \right)^2\right] \end{aligned} \tag{3}

(3)を(2)に代入すると、

Var[n] = E\left[\frac{L}{L_i} \left(n_i - \frac{L_i}{L} n_0 \right)^2\right]

故に、$ n $の分散の不偏推定量は、

\hat{Var[n]} = \frac{L}{L_i} \left(n_i - \frac{L_i}{L} n_0 \right)^2

これはすべてのiについて成り立つので、さらに精度を上げるために、これらをiについて平均します。

\hat{Var[n]} = \frac{1}{s} \sum_{i=1}^{s} \frac{L}{L_i} \left(n_i - \frac{L_i}{L} n_0 \right)^2

ここで、sは部分トランセクトの数を表します。

実際には、$ n_0 $はデータから求めることが出来ません。そこで、$ n $で代用することになるのですが、統計学を学んでいる人は、不偏分散の式の分母が(標本数)-1になることを知っていると思います。これは、期待値を平均で代用した時に不偏推定量ではなくなる、という性質によるものでした。今回も同じです。そのまま$ n $で代用してしまうと、不偏推定量ではなくなるという事態が発生します。従って、$ n $の分散の不偏推定量は以下のようになります。

\hat{Var[n]} = \frac{1}{s-1} \sum_{i=1}^{s} \frac{L}{L_i} \left(n_i - \frac{L_i}{L} n \right)^2

暇ができれば厳密な証明をこちらに書くかもしれません。

ちなみにですが、n/Lの値のことを遭遇率と呼ぶことがあります。遭遇率の分散の不偏推定量は、上で求めた式と、分散の基本的性質を使えば、下のようになります。

\begin{aligned} \hat{Var[\frac{n}{L}]} &= \frac{1}{L^2} \hat{Var[n]} \\ &= \frac{1}{s-1} \sum_{i=1}^{s} \frac{1}{{L_i} L} \left(n_i - \frac{L_i}{L} n \right)^2 \\ &= \frac{1}{s-1} \sum_{i=1}^{s} \frac{L_i}{L} \left(\frac{n_i}{L_i} - \frac{n}{L} \right)^2 \end{aligned}